Mathe

Allgemeine Form $f(x)=ax^2+bx+c$ Scheitelpunktform $f(x)=a(x-d)^2+e$ Beispiel: $$ \text{allgemeine Form} \to \text{Scheitelpunktform}\\ f(x)=\frac{1}{4}x^2-x-2 \to f(x)=a(x-d)^2+e\\\ \\ \frac{1}{4}\text{ ausklammern} \to f(x)=\frac{1}{4}(x^2-4x-8)\\\ \\ f(x)=\frac{1}{4}(x^2-4x+4-4-8) \to \text{Quadratische Ergänzung}\\ f(x)=\frac{1}{4}((x-2)^2-4-8)\\\ \\ f(x)=\frac{1}{4}((x-2)^2-12)\\\ \\ \text{äußere Klammer auflösen} \to f(x)=\frac{1}{4}(x-2)^2-3\\ S(2/-3) $$

Bestimmung des Scheitelpunktes aus der Funktionsgleichung Scheitelpunktform: $$ \begin{aligned} y&=x^2+c \to S(0/c)\\ y&=x^2-c \to S(0/-c)\\ y&=-x^2+c \to S(0/c)\\ y&=(x+d)^2 \to S(-d/0)\\ y&=(x-d)^2 \to S(d/0)\\ y&=-(x+d)^2 \to S(-d/0)\\ y&=(x+d)^2+c \to S(-d/c)\\ y&=(x+d)^2-c \to S(-d/-c)\\ y&=-(x-d)^2+c \to S(d/c) \end{aligned} $$ Von der Normalform in die Scheitelpunktform $$\text{Normalform }y=x^2+px+q \to \text{Scheitelpunktform }y=(x-d)^2+e$$ Quadratische Ergänzung $$ y=x^2+6x+1 \to\text{Auf die binomische Formel kommen}\\ y=x^2+6x+9-9+1 \to +9 \to \text{quadratische Ergänzung direkt wieder abziehen}\\ y=(x+3)^2-9+1\\ y=(x+3)^2-8\\ S(-3/-8) $$

Verschiebung auf der x und y-Achse

Der Faktor vor dem $x^2$ besagt, dass die Parabel eine bestimmte Form annimmt. Sie kann gestreckt oder gestaucht sein. Ist $a > 1$ ist die Parabel gestreckt. Ist $a < 1$ ist die Parabel gestaucht. Die quadratische Funktion $$y =(x-d)^2$$ Bisher haben wir die Parabel auf der y-Achse verschoben. Im folgenden, soll die Parabel auf der x-Achse verschoben werden. Die Funktionsgleichung hat die Form: $y=(x-d)^2$ Bsp.: $y=(x-2)^2$ -> bedeutet, dass die Parabel auf der x-Achse um 2 Einheiten nach rechts verschoben wird. ...

Quadratische Gleichungen haben eine Funktionsgleichung der Form $$y = ax^2+bx+c$$ $$f(x) = ax^2+bx+c$$ Den Graphen einer quadratischen Funktion nennt man Parabel nach oben geöffnet $= a > 0$ nach unten geöffnet $= a < 0$ Blau = $x²$ | Rot = $-x²$ $$ ax^2 - \text{quadratisches Glied}\\ bx - \text{lineares Glied}\\ c - \text{absolutes Glied}\\ $$ An der Stelle x, an der eine Funktion(also $y$ oder $f(x)$) den Wert 0 annimmt, heißt Nullstelle der Funktion ...

Allgemein und Normalform quadratischer Gleichungen

Lösungsschritte für Quadratische Gleichungen ohne absolutes Glied

Reinquadratische Gleichungen der Form $ax^2+c=0$

Übungsaufgaben aus dem Unterricht

Die Merkmale der verschiedenen binomischen Formeln