Aufgabe 1

In einem Käfig sind Hasen und Fasane, Sie haben zusammen 35 Köpfe und 94 Füße. Wie viele Hasen und Fasane sind im Käfig?

Formeln:

$F = \text{Fasane}\\H = \text{Hasen}$

$$ \begin{aligned} F+H=35\\ 2F+4H=94\\ \end{aligned} $$

$$ \begin{aligned} 2(35-H)+4H=94\\ 70-2H+4H=94\\ 70+2H=94&&|-70\\ 2H=24&&|:2\\ \underline{H=12} \end{aligned} $$

Einsetzen in $F+H=35$: $$ \begin{aligned} F+12=35\\ F+12=35&&|-12\\ \underline{F=23} \end{aligned} $$

Antwort: Im Käfig sind 12 Hasen und 23 Fasane.

Aufgabe 2

In einem Jugendheim gibt es 18 Zimmer (Vierbett-und Sechsbettzimmer). Insgesamt können 84 Jugendliche untergebracht werden. Wie viele Vierbett- bzw. Sechsbettzimmer sind es?

Formeln:

$V = \text{Vierbettzimmer}\\S = \text{Sechsbettzimmer}$

$$ \begin{aligned} V+S=18\\ 4V+6S=84\\ \end{aligned} $$

$$ \begin{aligned} 4(18-S)+6S=84\\ 72-4S+6S=84\\ 72+2S=84|-72\\ 2S=12|:2\\ \underline{S=6}\\ \end{aligned} $$

Einsetzen in $V+S = 18$: $$ \begin{aligned} V+6=18\\ V+6=18|-6\\ \underline{V=12} \end{aligned} $$

Antwort: Es gibt 6 Sechsbettzimmer und 12 Vierbettzimmer.

Aufgabe 3

Zwei Tassen Kaffee und ein Stück Kuchen kosten $8{,}00€$, drei Tassen Kaffee und vier Stück Kuchen kosten $20{,}00€$. Berechnen Sie den Preis für eine Tasse Kafee bzw. ein Stück Kuchen.

Formeln:

$T = \text{Tassen}\\K = \text{Kuchen}$

$$ \begin{aligned} 2T+K=8\\ 3T+4K=20\\ \end{aligned} $$

Nächster Schritt: $$ \begin{aligned} 2T+K&=8 &&|\cdot(-1) &&\text{(I)} \\ 3T+4K&=20 && &&\text{(II)}\\ \hline\\ -2T - K &= -8\\ 3T + 4K &= 20\\ \hline\\ T+3K&=12 \end{aligned} $$

Nächster Schritt (Umstellen): $$ \begin{aligned} T &= 12-3K\\ 2(12-3K)+K &= 8\\ 24-6K+K &= 8\\ 24-5K &= 8 &&|-24\\ -5K &= -16 &&|:(-5)\\ &\underline{K= 3{,}2}\\ \\ \text{Einsetzen in } T = 12-3K\text{:}\\ T &= 12-3 \cdot 3{,}2\\ T &= 12 - 9{,}6\\ &\underline{T = 2{,}4} \end{aligned} $$

Antwort: Ein Stück Kuchen kostet $3{,}20€$, Eine Tasse Kaffee $2{,}40€$

Aufgabe 4

Ein Hamburger und drei Portionen Pommes kosten $6{,}00€$, drei Hamburger und zwei Portionen kosten $6{,}80€$. Wie viel kosten ein Hamburger bzw. eine Portion Pommes?

Formeln:

$H = \text{Hamburger}\\P = \text{Pommes}$

$$ \begin{aligned} H+3P=6\\ 3H+2P=6{,}80\\ \end{aligned} $$

Nächster Schritt: $$ \begin{aligned} H+3P&=6 &&|\cdot(-1) &&\text{(I)} \\ 3H+2P&=6{,}80 && &&\text{(II)}\\ \hline\\ -H - 3P &= -6\\ 3H+2P&=6{,}80\\ \hline\\ 2H-P&=0{,}8 \end{aligned} $$

Nächster Schritt: $$ \begin{aligned} 2H-P&=0{,}8&&|+P\\ 2H&=0{,}8+P&&|:2\\ H&=0{,}4+\frac{P}{2} \end{aligned} $$

Nächster Schritt: $$ \begin{aligned} 0{,}4+\frac{P}{2}+3P&=6\\ 0{,}4+3{,}5P&=6&&|-0{,}4\\ 3{,}5P&=5{,}6&&|:3{,}5\\ &\underline{P=1{,}6} \end{aligned} $$

Einsetzen in $H = 0{,}4+\frac{P}{2}$ $$ \begin{aligned} H&=0{,}4+0{,}8\\ &\underline{H=1{,}2} \end{aligned} $$

Antwort: Ein Hamburger kostet $1{,}20€$, eine Portion Pommes $1{,}60€$.

Aufgabe 5

Fünf Ochsen und zwei Schafe kosten acht Golstücke, zwei Ochsen und acht Schafe kosten acht Goldstücke. Wie hoch ist der Preis für jedes einzelne Tier?

Formeln:

$X = \text{Ochse (O für Ochse war schwer zu unterscheiden mit 0)}\\S = \text{Schaf}$

$$ \begin{aligned} 5X+2S=8\\ 2X+8S=8\\ \end{aligned} $$

Wir “eliminieren” S: $$ \begin{aligned} 5X+2S&=8 &&|\cdot(-4) &&\text{(I)} \\ 2X+8S&=8 && &&\text{(II)}\\ \hline\\ -20X - 8S &= -32\\ 2X+8S&=8\\ \hline\\ -18X&=-24 &&|:(-18)\\ X&=\frac{24}{18}=\frac{4}{3}\\ \\ &\underline{X = 1{,}\overline{3}} \end{aligned} $$

Einsetzen in $5X+2S=8$ $$ \begin{aligned} 5\cdot1{,}\overline{33}+2S=8\\ 6{,}\overline{6}+2S=8&&|-6{,}\overline{6}\\ 2S=1{,}\overline{3} &&|:2\\ \\ \underline{S=0{,}\overline{6}} \end{aligned} $$

Antwort: Ein Ochse kostet $\frac{4}{3}$ (ca. $1{,}33$) Goldstücke, ein Schaf kostet $\frac{2}{3}$ (ca. $0{,}67$) Goldstücke.