Allgemeine Form
$$ ax^2+bx+c=0 $$
$x$ ist die Unbekannte die wir suchen
$a$ ist die Zahl vor dem $x^2$ (Vorfaktor). Sie bestimmt ob die Parabel gestaucht oder gestreckt ist. Steht ein minus vor dem a ist die Parabel nach unten geöffnet. Ansonsten nach oben.
$b$ das lineare Glied, die Zahl vor dem $x$
$c$ = Absolutes Glied, eine eine feste Zahl ohne $x$. Sie bestimmt den Achsenabschnitt auf der $y$-Achse.
Beispiel:
$$ 2x^2+8x-10=0 $$
Normalform
$$ x^2+px+q=0 $$
Allgemeine Form -> Normalform
$$ x^2+4x-\bold{\underline{5}}=0 $$
Um die Gleichung lösen zu können, brauche ich das Binom. Da -5 dort nicht hineinpasst, muss sie weg.
Ich bringe die -5 als +5 auf die andere Seite der Gleichung.
Dadurch entsteht auf der linken Seite eine Lücke.
Diese Lücke wird gefüllt, indem man vom linearen Glied die Hälfte nimmt und das Ergebnis quadriert.
Dieser Wert füllt die Lücke und bezeichnet man als “Quadratische Ergänzung”
$$ x^2+4x-5=0 | +5\\ x^2+4x=5\\\ \\ x^2+4x+\bold{\underline{4}}=5+\bold{\underline{4}}\\ x^2+4x+4=9\\\ \\ (x+2)^2=9 |\sqrt{}\\ x+2=\pm\sqrt{9}\\ x+2=\pm3|-2\\\ \\ x_1=1\\ x_2=-5 $$
Beispiel
$$ x^2+6x-7=0\\ x^2+6x=7\\ x^2+6x+9=16\\ (x+3)^2=16 |\sqrt{}\\ x+3=\pm 4|-3\\\ \\ x_1 = 1\\ x_2=-7 $$
2. Beispiel (Anschaulicher)
$$ \begin{aligned} x^2-7x-8 &=0 && | +8\\ x^2-7x &=8 && | \text{Ergänzen}\\ x^2-7x+\left(\frac{7}{2}\right)^2 &= 8+\left(\frac{7}{2}\right)^2 \\ \left(x-\frac{7}{2}\right)² &=8+\frac{49}{4} &&|\text{Ganzzahl auflösen} \\ \left(x-\frac{7}{2}\right)² &=\frac{81}{4} &&|\sqrt{} \\ x-\frac{7}{2} &=\pm\frac{9}{2} &&| +\frac{7}{2} \\ \\ x_1 &= \frac{16}{2}, x_2 = -\frac{2}{2}\\ \end{aligned} $$ $$ L = \{\frac{16}{2}; -\frac{2}{2}\}\\ \text{oder}\\ L = \{8;-1\}\\ \text{Beides Richtig} $$