Gleichsetzungsverfahren
Anwendung, wenn beide Gleichungen nach der selben Variablen auflösbar sind. $$y_1 = mx+b$$ $$y_2 = mx+b$$
- Schritt: Beide Gleichungen nach derselben Variablen auflösen.
- Schritt: Gleichsetzen
- Schritt: Nach der verbleibenden Variablen umstellen.
- Schritt: Die Lösung in die Variablen einsetzen.
Beispiel (Umstellen nach $x$)
$$y=2x+1$$ $$y=-x+4$$
Gleichsetzen: $$2x+1=-x+4|+x\\ 3x+1 = 4|-1\\ 3x = 3 |\div3\\ \underline{x = 1} $$
Einsetzen: $$2\cdot1+1=3$$ $$\underline{y=3}$$ $$S=(1/3)$$
Einsetzungsverfahren
Beispiel
$$x-y=1$$ $$2x+y=5$$
- Schritt: Eine Gleichung nach x oder y auflösen.
- Schritt: Variablen bestimmen
- Schritt: Variable in eine der Gleichungen einsetzen, um die 2. Variable zu bestimmen.
$$ 2x+y=5\\ 2(1+y)+y=5\\ 2+2y+y=5\\ 2+3y=5|-2\\ 3y=3|\div3\\ \underline{y=1} $$
$$ x-1=1\\ x-1=1|+1\\ \underline{x=2} $$
Überprüfen: $$2*2+1=5$$ Ergebnis: $$S=(2/1)$$
Additionsverfahren
Beispiel
$$2x+y=5$$ $$x-y=1$$
- Schritt: Zielvariable auswählen
- Schritt: Gleichungen so anpassen, dass sich diese Variable aufhebt
- Schritt: Gleichungen addieren
- Schritt: Lösung in eine der Variablen einsetzen
$$ \begin{array}{rll} 2x + y & = 5 & \text{(I)} \\ x - y & = 1 & \text{(II)} \\ \hline 3x & = 6 & \text{(Lösung)} \end{array} $$
$$2x+y=5\\ x-y=1\\ 2x+x=6\\ \underline{x=2} $$
Beispiel
$$ \begin{array}{rll} -4x - 2y & = -20 &&\text{(I)} \\ -4x + 4y & = -8 &&\text{(II)} \\ \hline 4x + 2y & = 20 &&\cdot(-1)\\ -4x + 4y & = -8 & \\ \hline 6y & = 12 &&|\div 6 \\ y & = 2 &&\text{(Lösung)} \end{array} $$
$$\underline{y=2}$$
Die Gleichung wird mit $−1$ multipliziert, weil eine Gleichung durch Multiplizieren beider Seiten mit derselben Zahl nicht verändert wird, sondern nur anders dargestellt wird. Dadurch erhalten die $x$-Terme entgegengesetzte Vorzeichen und heben sich beim Addieren auf.
$$ -4x+4\cdot2=-8\\ -4x+8=-8 |-8\\ -4x=-16 |\div4\\ \underline{x=4} $$
$$S(4/2)$$